📏 信賴區間：95% 到底是「什麼」的 95%

重複抽樣 100 次、每次都建一條 95% 信賴區間——約 95 條會蓋到真值、約 5 條紅色落空。隨機的是「區間」，不是母數。這個語意陷阱每屆都考。

💡 白話定義

95% 信賴區間的正確唸法：「若以相同方法重複抽樣並建構區間很多次，長期約有 95% 的區間會涵蓋真實母體平均數」。母體平均 μ 是固定的數（只是我們不知道），單一條區間要嘛蓋到、要嘛沒蓋到——沒有「95% 機率」可言。區間公式（σ 已知）：樣本平均 ± 1.96 × σ/√n。

🎮 互動模擬：抽 100 次、建 100 條區間

蓋到真值：– 條 落空（紅）：– 條 區間半寬 ≈ – 按下按鈕開始
⚠️ 三大錯誤說法：「母體平均有 95% 機率落在這條區間」（❌ 母數不是隨機的）、「95% 的使用者落在區間內」（❌ 混淆資料分佈）、「樣本平均有 95% 機率在區間內」（❌ 樣本平均必在自己區間的正中央）。

🧠 什麼會讓區間變窄？

半寬＝z × σ/√n。想要更精確（更窄）有三條路：加大樣本 n（除以 √n——n 要 4 倍寬度才減半）、降低信賴水準（95%→90%，z 從 1.96 降到 1.645，但落空率升到 10%）、降低資料變異 σ（改善量測）。「又窄又高信賴」沒有免費午餐——這跟型一/型二錯誤的取捨是同一家人。

✅ 自我檢測

Q1：「日均使用時間 95% CI＝[42, 48] 分鐘」的正確解讀是？

以相同方法重複抽樣建構區間多次，約 95% 的區間會涵蓋真實母體平均——不是「母體平均有 95% 機率在 42~48」。

Q2：想把區間寬度減半，樣本數要變幾倍？

4 倍（寬度 ∝ 1/√n）。

Q3：把 95% 改成 99%，區間會變寬還是變窄？

變寬（z 從 1.96 → 2.576）：更有信心蓋到，代價是更不精確。

🎯 重點整理

① 隨機的是區間、母數固定：95%＝建構程序的長期命中率。
② 半寬＝z·σ/√n：n×4 → 寬度減半；信賴水準↑ → 區間變寬。
③ 三大錯誤說法要能秒認（母數機率／資料分佈／樣本平均）。
④ 貝氏學派的「可信區間」才能說「母數落在區間的機率 95%」——頻率學派不行。