📞 Poisson 與指數分佈：一體兩面

同一條「客服來電」時間軸——數次數（每分鐘幾通）得到卜瓦松分佈、量間隔（兩通之間隔多久）得到指數分佈。搞懂這兩面，考題再也騙不了你。

💡 白話定義

事件「彼此獨立、發生率 λ 穩定」時（卜瓦松過程）：
卜瓦松分佈＝「單位時間發生幾次」的分佈（離散：0 次、1 次、2 次…），平均＝變異數＝λ。
指數分佈＝「相鄰兩事件的等待時間」的分佈（連續），平均等待＝1/λ，且無記憶性：已經等了 5 分鐘，再等 1 分鐘的機率跟剛開始等時一樣。
考題只問一件事：題目要的是「次數」還是「間隔時間」？

🎮 互動模擬：一條時間軸、兩個分佈

按「模擬」開始：上方時間軸會落下來電點，左圖數次數、右圖收集間隔。

🧠 考題的分辨訣竅

「平均每小時 20 通來電」──若問「某小時恰好 25 通的機率」→ 次數 → Poisson；若問「相鄰兩通之間等待時間」→ 間隔 → 指數。再補一刀：「固定次數试驗、每次成功率 p、問成功幾次」→ 二項分佈（n 大 p 小時可用 Poisson 近似，λ=np）。

✅ 自我檢測

Q1：客服每小時平均 20 通、彼此獨立。建模「相鄰兩通的等待時間」用什麼分佈？

指數分佈（連續的間隔時間）；「每小時幾通」才是 Poisson。

Q2：Poisson 分佈的平均數與變異數關係？

相等，皆為 λ——這也是檢查資料「像不像 Poisson」的快篩（變異數遠大於平均＝過度離散，考慮負二項）。

Q3：指數分佈的「無記憶性」是什麼意思？

P(再等 t｜已等 s)＝P(等 t)：等多久了不影響接下來的等待——「已經很久沒中獎所以快中了」是錯覺。

🎯 重點整理

① 次數 → Poisson；間隔時間 → 指數——一體兩面、同一個 λ。
② Poisson：離散、平均＝變異數＝λ；指數：連續、平均＝1/λ、無記憶。
③ 固定 n 次試驗問成功次數 → 二項；n 大 p 小 → Poisson 近似（λ=np）。
④ 程式對應：pmf＝恰好、cdf＝累積（scipy.stats.poisson / expon）。